Question

（2013•广州三模）已知数列{a_n}的前n项和的平均数为2n+1
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设cn=

an

2n+1

，试判断并说明cn+1-cn(n∈N*)的符号；
（3）设函数f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

，是否存在最大的实数λ？当x≤λ时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．

Answer 1

分析：（1）依题意，S_n=n（2n+1），当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，再求得a₁，即可求得{a_n}的通项公式；
（2）c_n=2-

3

2n+1

，c_n+1=2-

3

2n+3

，二者作差判断即可；
（3）f（x）≤0?-x²+4x≤

an

2n+1

=c_n，由（2）知c₁=1是数列{c_n}的最小项，于是-x²+4x≤c₁=1，解之结合题意即可确定λ的值．

解答：解：（1）由题意，a₁+a₂+a₃+…+a_n=n（2n+1），a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）（2n-1），
两式相减得：a_n=4n-1，（n≥2），而a₁=3，
∴a_n=4n-1，（n∈N^*），
（2）c_n=

an

2n+1

=

4n-1

2n+1

=2-

3

2n+1

，c_n+1=2-

3

2n+3

，
c_n+1-c_n=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0，
∴c_n+1＞c_n
（3）由（2）知c₁=1是数列{c_n}的最小项．
当x≤λ时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0，
即-x²+4x≤

an

2n+1

=c_n，
∴-x²+4x≤c₁=1，即x²-4x+1≥0，
解得x≥2+

3

或x≤2-

3

，
∴取λ=2-

3

．

点评：本题考查数列与函数的综合，突出考查等差数列通项的确定，考查恒成立问题，考查分类常数法与作差法比较大小，属于难题．