题目内容

(2013•广州三模)如图,在等腰梯形PDCB中,PB∥CD,PB=3,DC=1,PD=BC=
2
,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证:平面PAD⊥平面PCD.
(2)在线段PB上是否存在一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为VPDCMA:V M-ACB=2:1,若存在,确定点M的位置;若不存在,说明理由.
(3)在(2)的条件下,判断AM是否平行于平面PCD.
分析:(1)利用已知可证明CD⊥AD,再利用面面垂直的性质定理平面PAD⊥平面ABCD,且交线为AD,即可得出DC⊥平面PAD.利用面面垂直的判定定理即可即可证明结论;
(2)在线段PB上存在这样的点M,当M为PB中点时,使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA:VM-ACB=2:1.利用三角形的中位线定理可得:点M到面ACB的距离等于
1
2
PA,利用三棱锥的体积计算公式即可得到VM-ACB,利用四棱锥的体积计算公式即可得到VP-ABCD,进而得出结论.
(3)AM与平面PCD不平行.可用反证法证明.利用线面平行的判定定理可得AB∥平面PCD.若AM∥平面PCD,可得平面ABM∥平面PCD.这与平面ABM与平面PCD有公共点P矛盾.
解答:(1)证明:在梯形PDCB中,连接AC,∵PA
.
.
CD,∴四边形PACD为平行四边形.
∴PD=AC,
∵PD=
2
,∴AC=
2

∵DC=PA=1,∴AC2=AD2+CD2
∴CD⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,且交线为AD
∴DC⊥平面PAD.
∵DC?平面PCD,
∴平面PAD⊥平面PCD.
(2)在线段PB上存在这样的点M,当M为PB中点时,使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA:VM-ACB=2:1.理由如下:
∵DC∥PA,CD⊥AD,∴PA⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,且交线为AD
∴PA⊥平面ABCD,
∵M为PB中点,∴点M到面ACB的距离等于
1
2
PA=
1
2

∴VM-ACB=
1
3
×
1
2
S△ACB=
1
6

VP-ABCD=
1
3
PA•S梯形ABCD
=
1
3
×1×
(1+2)×1
2
=
1
2

VPDCMA=VP-ABCD-VM-ADP=
1
3

VPDCMA
VMABC
=
2
1
,故M为PB中点.
(3)AM与平面PCD不平行.
∵AB∥CD,AB?平面PCD,CD?平面PCD,
∴AB∥平面PCD.
若AM∥平面PCD,∵AB∩AM=A,∴平面ABM∥平面PCD.
这与平面ABM与平面PCD有公共点P矛盾.
∴AM与平面PCD不平行.
点评:本题综合考查了线面与面面垂直的判定定理及性质定理、线面与面面垂直的平行定理及性质定理、棱锥的体积、反证法等基础知识与基本技能,考查了空间想象能力、推理能力和计算能力.
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