Question

（2013•广州三模）如图所示，圆柱的高为2，底面半径为

3

，AE、DF是圆柱的两条母线，过AD作圆柱的截面交下底面于BC，且AD=BC
（1）求证：平面AEB∥平面DFC；
（2）求证：BC⊥BE；
（3）求四棱锥E-ABCD体积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据圆柱的上下底面平行，利用面面平行与线面平行的性质证出AD∥BC，结合AD=BC得四边形ABCD是平行四边形，从而AB∥CD，由线面平行的判定证出AB∥平面DFC，同理得出AE∥平面DFC，最后根据面面平行判定定理，即可得到平面AEB∥平面DFC；
（2）由（1）得四边形BCFE为平行四边形，结合圆内接四边形的性质，得到四边形BCFE为矩形，得到BC⊥BE，而AE⊥平面BCFE，得AE⊥BC，根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ABE，从而证出BC⊥BE；
（3）由锥体的体积公式，得V_E-ABCD=2V_E-ABC=2V_A-BCE，而V_A-BCE=

1

3

S_△BCE×AE=

2

3

S_△BCE，在底面圆中研究内接△BCE的面积，可得当且仅当BE=BC=

6

时面积有最大值，由此即可算出四棱锥E-ABCD体积的最大值．

解答：解：（1）由圆柱的性质，可得：AD∥平面BCFE
又∵过AD作圆柱的截面交下底面于BC．∴AD∥BC，
∵AD=BC，可得四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD
∵AB?平面DFC，CD?平面DFC，∴AB∥平面DFC，
由平行四边形ADFE中AE∥DF，同理可得AE∥平面DFC，
∵AE、AB是平面AEB内的相交直线，∴平面AEB∥平面DFC；
（2）由（1）得BC

∥

.

EF，∴四边形BCFE为平行四边形
又∵四边形BCFE是圆内接四边形，∴四边形BCFE为矩形，可得BC⊥BE，
又∵圆柱的母线AE⊥平面BCFE，BC?平面BCFE，∴AE⊥BC，
∵BE、AE是平面ABE内两条相交直线，∴BC⊥平面ABE
结合BE?平面ABE，可得BC⊥BE；
（3）由锥体的体积公式，可得
四棱锥E-ABCD体积V_E-ABCD=2V_E-ABC=2V_A-BCE，
∵AE⊥平面BCFE，∴AE=2为三棱锥A-BCE的高，
可得V_A-BCE=

1

3

S_△BCE×AE=

2

3

S_△BCE
∵底面半径r=

3

，四边形BCFE为矩形
∴S_△BCE=

1

2

S_BCFE≤r²=3，可得V_A-BCE≤

2

3

×3=2
因此四棱锥E-ABCD体积V_E-ABCD=2V_A-BCE≤4，当且仅当BE=BC=

6

时等号成立
∴四棱锥E-ABCD体积的最大值为4．

点评：本题着重考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、锥体的体积公式及其推论和圆内接三角形面积的最值求法等知识，属于中档题．