Question

（本小题满分12分）如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M 为PD的中点，∠ADC = 45o，AD = AC = 1，PO=a

（1）证明：DA⊥平面PAC；

（2）如果二面角M?AC?D的正切值为2，求a的值.

Answer 1

（1）祥见解析；（2）a=2.

【解析】

试题分析：（1）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC，得AD⊥AC，从而证明AD⊥平面PAC．（2）法一，先利用三垂线定理作出二面角M-AC-D的平面角：连结DO,作MG⊥DO于G，作GH⊥AO于H，因为M是PD中点，且MG⊥DO，所以G为DO中点，且MG⊥平面ABCD，显然，∠MHG即为二面角M-AC-D的平面角.然后在直角三角形MHG中，可用a表示出的正切值，从而由已知即可求出a的值；法二，以OA为x轴，OP为y轴，O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量知亦可求．

试题解析： （1）证明：由题意，∠ADC = 45o，AD = AC = 1,故∠DAC = 90o

即DA⊥AC.又因为 PO⊥平面ABCD,

所以，DA⊥PO，DA⊥平面PAC 4分

（2）法一：连结DO,作MG⊥DO于G，作GH⊥AO于H，因为M是PD中点，且MG⊥DO，所以G为DO中点，且MG⊥平面ABCD，显然，∠MHG即为二面角M-AC-D的平面角. 8分

因为GH⊥AO，且G为DO中点，所以，而，故，PO=2MG=2. 12分

法二：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则,，，，

设平面MAC的法向量为，，，则，所以的一个取值为

10分

平面ACD的法向量为.

设二面角的平面角为，

因为，所以

a=2 12分

考点：1. 直线与平面垂直的判定；2二面角．