Question

一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，在包围该三棱锥的外接球内任取一点，该点落在三棱锥内部的概率为（　　）

• A．

  4

  27π

• B．

  2

  27π

• C．

  4

  9π

• D．

  2

  9π

Answer 1

分析：由题意可知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生的所有的事件对应着球的体积，满足条件的事件是在三棱锥的体积，由三视图得到三棱锥的侧棱长度，求其外接球体积即可．

解答：解：本题是一个等可能事件的概率，试验发生的所有的事件对应着球的体积，
球的直径

16+16+4

=6，
∴球的体积是

4

3

π×33=36π
满足条件的事件是在三棱锥的体积，
三棱锥的三条侧棱互相垂直，体积是

1

3

×4×

1

2

×4 ×2=

16

3

，
∴在三棱锥的外接球内任取一点，该点落在三棱锥内部的概率为

16 3

36π

=

4

27π

故选A．

点评：本题考查等可能事件的概率，考查学生的空间想象能力，解题的关键是由三视图求体积，注意两两垂直的三条侧棱可以组成长方体的一个顶点处的三条棱．