Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=2，2cos²$\frac{B+C}{2}$+sinA=$\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）若满足条件的△ABC有且只有一个，求b的取值范围；
（Ⅱ）当△ABC的周长取最大值时，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角恒等变换求得cosA 和sinA 的值，结合满足条件的△ABC有且只有一个可得a=bsinA 或 a≥b，由此求得b的范围．
（Ⅱ）△ABC的周长为a+b+c，利用余弦定理、基本不等式求得周长2+b+c最大值为2+2$\sqrt{10}$，此时，b=$\sqrt{10}$=c．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=2，2cos²$\frac{B+C}{2}$+sinA=$\frac{4}{5}$，
∴2${cos}^{2}\frac{π-A}{2}$+sinA=$\frac{4}{5}$，即 2${sin}^{2}\frac{A}{2}$+sinA=$\frac{4}{5}$，∴cosA-sinA=$\frac{1}{5}$，
平方可得sin2A=$\frac{24}{25}$，∴cosA+sinA=$\sqrt{{（cosA+sinA）}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
求得cosA=$\frac{4}{5}$，sinA=$\frac{3}{5}$∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），结合满足条件的△ABC有且只有一个，∴A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）．
∴由正弦定理可得 a=bsinA，即2=$\frac{3}{5}$b，即 b=$\frac{10}{3}$；或 a≥b，即0＜b≤2，综上可得，b∈（0，2]∪{$\frac{10}{3}$}．
（Ⅱ）由于△ABC的周长为a+b+c，
由余弦定理可得2²=b²+c²-2bc•$\frac{4}{5}$=（b+c）²-$\frac{18}{5}$bc≥（b+c）²-$\frac{18}{5}$•${（\frac{b+c}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{10}$•（b+c）²，
∴b+c≤$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$，当且仅当b=c时，取等号，此时，三角形的周长为 2+b+c最大为2+2$\sqrt{10}$，
故此时b=$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．