Question

14．已知{a_n}是公比小于1的等比数列，且a₂=2，a₁+a₃=5，设T_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，则（　　）

• A． 12≤T_n＜16
• B． 8≤T_n＜16
• C． 12≤T_n＜$\frac{32}{3}$
• D． 8≤T_n＜$\frac{32}{3}$

Answer 1

分析 利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：{a_n}是公比q小于1的等比数列，
∵a₂=2，a₁+a₃=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=2}\\{{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}=5}\end{array}\right.$，q＜1，
解得q=$\frac{1}{2}$，a₁=4．
∴${a}_{n}=4×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^3-n，
∴a_na_n+1=2^3-n•2^2-n=2^5-2n．
设T_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1=2³+2¹+2^-1+…+2^5-2n=$\frac{8（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{32}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$，
∴8＜T_n＜$\frac{32}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．