题目内容

双曲线 $数学公式$ 的左、右焦点分别为F₁、F₂离心率为e．过F₂的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F₁AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e²的值是

A.
1+2 $数学公式$
B.
3+2 $数学公式$
C.
4-2 $数学公式$
D.
5-2 $数学公式$

D
分析：设|AF₁|=|AB|=m，计算出|AF₂|=（1- $\text{[math]}$ ）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的关系，从而求出e²的值．
解答：设|AF₁|=|AB|=m，则|BF₁|= $\text{[math]}$ m，|AF₂|=m-2a，|BF₂|= $\text{[math]}$ m-2a，
∵|AB|=|AF₂|+|BF₂|=m，
∴m-2a+ $\text{[math]}$ m-2a=m，
∴4a= $\text{[math]}$ m，∴|AF₂|=（1- $\text{[math]}$ ）m，
∵△AF₁F₂为Rt三角形，∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²∴4c²=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）m²，
∵4a= $\text{[math]}$ m
∴4c²=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）×8a²，
∴e²=5-2 $\text{[math]}$
故选D．
点评：本题考查双曲线的标准方程与性质，考查双曲线的定义，解题的关键是确定|AF₂|，从而利用勾股定理求解．

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