Question

已知f（x）=log₂

1-x

1+x

 （-1＜x＜1）．
（1）若f（a）+f（b）=0，求证：a+b=0；
（2）设f(

1

2

)+f(

1

3

)=f(x0)，求x₀的值；
（3）设x₁、x₂∈（-1，1），是否存在x₃∈（-1，1），使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），若存在，求出x₃，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用对数的性质通过f（a）+f（b）=0，化简即可得到a+b=0；
（2）通过化简方程，f(

1

2

)+f(

1

3

)=f(x0)，即可直接求出x₀的值；
（3）通过f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），直接求出x₃，然后利用分析法证明结论．

解答：解：（1）证明：由f（a）+f（b）=0得lg

1-a

1+a

+lg

1-b

1+b

=0，lg(

1-a

1+a

•

1-b

1+b

)=0

1-a

1+a

•

1-b

1+b

=1，∴（1-a）（1-b）=（1+a）（1+b），化简得a+b=0．…（4分）
（2）解：f(

1

2

)=lg

1- 1 2

1+ 1 2

=lg

1

3

，f(

1

3

)=lg

1- 1 3

1+ 1 3

=lg

1

2

，f(x0)=lg

1-x0

1+x0

，f(

1

2

)+f(

1

3

)=lg

1

6

由f(

1

2

)+f(

1

3

)=f(x0)得lg

1-x0

1+x0

=lg

1

6

，解得x0=

5

7

．…（8分）
（3）解：假设存在x₃∈（-1，1）使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），…（9分）
∵f(x1)=lg

1-x1

1+x1

，f(x2)=lg

1-x2

1+x2

，
∴lg(

1-x1

1+x1

•

1-x2

1+x2

)=lg

1-x3

1+x3

，解得x3=

x1+x2

1+x1x2

，…（12分）
下证-1＜

x1+x2

1+x1x2

＜1，
先用分析法证明

x1+x2

1+x1x2

＜1，∵x₁、x₂∈（-1，1），∴1+x₁x₂＞0．
要证明

x1+x2

1+x1x2

＜1，即要证x₁+x₂＜1+x₁x₂，即要证（1-x₁）（1-x₂）＞0，
∵x₁、x₂∈（-1，1），∴1+x₁＞0，1+x₂＞0，（1-x₁）（1-x₂）＞0，
同理可证-1＜

x1+x2

1+x1x2

，…（15分）
所以存在x3=

x1+x2

1+x1x2

∈(-1，1)，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）．…（16分）

点评：本题考查函数与方程的综合应用，分析法证明问题的方法，考查分析问题解决问题的能力．