Question

【题目】若抛物线的焦点为，是坐标原点，为抛物线上的一点，向量与轴正方向的夹角为60°，且的面积为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或

【解析】

(1)先设的坐标为，根据向量与轴正方向的夹角为60°，可得出，再利用三角形的面积公式可求得的值即可求出抛物线的方程；

(2) 先设的坐标为，利用两点间的距离公式分别求出，，再利用基本不等式求出取得最大值时点的坐标，即可求出直线的方程.

(1))设的坐标为，(如图)

因为向量与轴正方向的夹角为60°,，

所以，

根据抛物线定义得：，

即，解得：即，

则，

解得：即抛物线的方程为：；

(2) 设的坐标为，，则

，

因为点在抛物线：上，即有：，

所以，

，

因此

当且仅当即时等号成立，

此时，，

所以直线的方程为：

或