题目内容

如图，A，B，C是直线l上三点，P是直线l外一点，已知AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，记∠PBA=θ，则 $数学公式$ =________．（用a表示）

$\text{[math]}$
分析：三角形ABP是直角三角形，求出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，再有正弦定理求 $\text{[math]}$ ，结合余弦定理，求出θ的余弦值，求数量积即可．
解答： $\text{[math]}$ =asinθ， $\text{[math]}$ =acosθ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
且 $\text{[math]}$ =a²+a²cos²θ+2a²cos²θ
=a²+3a²cos²θ，∴2a²sin²θ=a²+3a²cos²θ，
解得sin²θ= $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查平面向量数量积，正弦定理，余弦定理等知识，是综合题．

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如图，在三棱锥A-BOC中，AO⊥面BOC，二面角B-AO-C是直二面角，OB=OC，∠OAB=

，斜边AB=4，动点D在斜边AB上．
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（2）当D为AB的中点时，求：异面直线AO与CD所成角大小．

如图：五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4，△ABC 是正三角形，AB=2，四边形 BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁为直二面角，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角C-BC₁-D的大小；
（3）若A、B、C、C₁为某一个球面上的四点，求该球的半径r．

如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′=O′A′=1，O′B′=

，以△ABC为底面构造一个侧棱等于2的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（侧棱垂直底面），则此三棱柱的体积为

如图，已知A₁B₁C₁－ABC是直三棱柱，∠BCA＝90°，点D₁、F₁分别是A₁B₁、A₁C₁的中点，若BC＝CA＝CC₁，则BD₁与AF₁所成角的余弦值是

A．

B．

C．

D．

（本题满分12分）如图，五面体A－BCC₁B₁中，AB₁＝4，底面ABC是正三角形，AB＝2，四边形BCC₁B₁是矩形，二面角A－BC－C₁为直二面角，D为AC中点.

（1）求证：AB₁∥面BDC₁；（2）求二面角C－BC₁－D的大小；

（3）若A、B、C、C₁为某一个球面上四点，求球的半径.