Question

15．已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²+2x+8，则f（x）的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x-8，x＜0\\ 0，x=0\\{x^2}+2x+8，x＞0\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由奇函数的性质易得f（0）=0，由题意和函数的奇偶性可得当x＜0时的解析式，综合可得答案．

解答 解：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，
设x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=x²+2x+8，
∴f（-x）=（-x）²+2（-x）+8=x²-2x+8，
∴-f（x）=x²-2x+8，
∴当x＜0时，f（x）=-x²+2x-8
综上可得f（x）的解析式为：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x-8，x＜0\\ 0，x=0\\{x^2}+2x+8，x＞0\end{array}\right.$
故答案为：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x-8，x＜0\\ 0，x=0\\{x^2}+2x+8，x＞0\end{array}\right.$

点评 本题考查函数解析式的求解，涉及函数的奇偶性和整体的思想，属基础题．