Question

若当x∈（0，）时，不等式x²+x＜log_ax恒成立，则实数a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：先构造函数f（x）=x²+x，g（x）=-log_ax．h（x）=f（x）+g（x），将问题等价转化为函数h（x）在区间（0，）上恒有h（x）＜0，又函数为增函数，故可求．
解答：解：构造函数f（x）=x²+x，g（x）=-log_ax．h（x）=f（x）+g（x）．（0＜x＜）
易知，在区间（0，）上，函数f（x），g（x）均是递增函数，∴函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（0，）上是递增函数．
由题设可知，函数h（x）在区间（0，）上恒有h（x）＜0．∴必有h（）≤0．
即有（）+（）-log_a（）≤0．
整理就是（）≤，∴．
点评：本题是恒成立问题，通过研究函数的单调性，借助于最值求出参数的范围．