Question

10．已知f（x）=3+log₂x的定义为[1，4]，则函数y=f²（x）+f（x²）的值域是（　　）

• A． [-4，32]
• B． [12，21]
• C． [21，32]
• D． [12，32]

Answer 1

分析 根据复合函数定义域之间的关系求出函数的定义域，利用换元法结合对数函数和一元二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：∵f（x）=3+log₂x的定义为[1，4]，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤{x}^{2}≤4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{1≤x≤2或-2≤x≤-1}\end{array}\right.$即1≤x≤2，
即函数y=f²（x）+f（x²）的定义域为[1，2]，
则y=f²（x）+f（x²）=（3+log₂x）²+3+log₂x²=）=（3+log₂x）²+3+2log₂x=（log₂x）²+8log₂x+12，
令t=log₂x，
∵1≤x≤2，
∴0≤t≤1，
则函数等价为y=t²+8t+12=（t+4）²-4，
则函数在0≤t≤1为增函数，
则当t=0时，函数取得最小值为y=12，
当t=1时，函数取得最大值为y=21，
故函数的值域为[12，21]，
故选：B

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用换元法结合对数函数和一元二次函数的性质是解决本题的关键．