Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，A₁,A₂,B₁,B₂为椭圆（a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A₁B₁与直线B₁F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为？

Answer 1

解法一：由题意，可得直线A₁B₂的方程为，直线B₁F的方程为

两直线联立则点T，则M，由于此点在椭圆上，故有，整理得3a²-10ac-c²=0

即e²+10e-3=0，解得

故答案为

解法二：对椭圆进行压缩变换，,

椭圆变为单位圆：x′²+y′²=1，F′（，0）．

延长TO交圆O于N，易知直线A₁B₂斜率为1，TM=MO=ON=1，A₁B₂＝，

设T（x′，y′），则TB₂＝x′，y′=x′+1，

由割线定理：TB₂×TA₁=TM×TN，，

x′＝（负值舍去），y′＝

易知：B₁（0，-1），直线B₁T方程：

令y′=0

x′＝，即F横坐标

即原椭圆的离心率e=＝

故答案：

解法一：可先直线A₁B₂的方程为，直线B₁F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；

解法二：对椭圆进行压缩变换，,椭圆变为单位圆：x′²+y′²=1，F′（，0）．根据题设条件求出直线B₁T方程，直线直线B₁T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．