Question

等腰三角形ABC的腰AB上的中线CD的长为2，则△ABC周长的最大值

6

2

．

Answer 1

分析：设等腰三角形ABC的腰AB=AC长为2x，底为y，根据三角形中线公式，可以得到2x²+y²=8，进而由柯西不等式可以得到△ABC周长4x+y的取值范围．

解答：解：设等腰三角形ABC的腰AB=AC长为2x，底为y，
∵腰AB上的中线CD的长为2，
由中线公式可得2x²+y²=8①
则周长C=4x+y②
由柯西不等式就可得
（2x²+y²）（8+1）≥（4x+y）²
所以4x+y≤6

2

当且仅当2x²=8y²，即x=

4 2

3

，y=

2 2

3

时
△ABC周长取最大值为6

2

故答案为：6

2

点评：本题考查的知识点是柯西不等式，其中根据三角形中线公式求出等腰三角形ABC的腰AB=AC长为2x，底为y时，2x²+y²=8是解答的关键．