Question

【题目】如图所示，已知是椭圆：的右焦点，直线：与椭圆相切于点．

（1）若，求；

（2）若，，求椭圆的标准方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2） .

【解析】

（1）把直线方程与椭圆方程联立，消去得的一元二次方程，直线与椭圆相切，则，结合可求得；

（2）利用（1）中结论可求得点坐标，作轴于点,轴于点,由,,则有，因此,,这样可由点坐标表示出点坐标，由在直线上可得，这样结合，可解得得椭圆标准方程．

（1）由直线与椭圆方程联立得，①，

因直线与椭圆相切，则，因此可得；

若，则 ；

（2）将代入方程①式可得，

因此，，因此点，

作轴于点,轴于点,∵,,

则有，因此,,

∴，，

∴，∵在直线上，

因此，化简得；

又由，

则可得，即有，∵，

∴，

则，，因此所求的椭圆方程为 .