题目内容
已知椭圆E：
（a，b＞0）的焦点坐标为F1（-2，0），点M（-2，
）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q（1，0），过Q点引直线l与椭圆E交于A，B两点，求线段AB中点P的轨迹方程．
【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆E：
（a，b＞0）经过M（-2，
），一个焦点坐标为F1（-2，0），求出基本量，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）利用点差法，求出弦AB的斜率，根据A，B，P，Q四点共线，可得kAB=kPQ，从而可求线段AB中点P的轨迹方程．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆E：
（a，b＞0）经过M（-2，
），一个焦点坐标为F1（-2，0），
∴
，∴椭圆E的方程为
； …（5分）
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l与椭圆E的两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2），相交所得弦的中点P（x，y），
∴
，
①-②得，
，
∴弦AB的斜率
．，
∵A，B，P，Q四点共线，
∴kAB=kPQ，即
，
经检验（0，0），（1，0）符合条件，
∴线段AB中点P的轨迹方程是x2+2y2-x=0．…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，属于中档题．
（a，b＞0）经过M（-2，），一个焦点坐标为F1（-2，0），求出基本量，即可求椭圆E的方程；（Ⅱ）利用点差法，求出弦AB的斜率，根据A，B，P，Q四点共线，可得kAB=kPQ，从而可求线段AB中点P的轨迹方程．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆E：
（a，b＞0）经过M（-2，），一个焦点坐标为F1（-2，0），∴
，∴椭圆E的方程为； …（5分）（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l与椭圆E的两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2），相交所得弦的中点P（x，y），
∴
，①-②得，
，∴弦AB的斜率
．，∵A，B，P，Q四点共线，
∴kAB=kPQ，即
，经检验（0，0），（1，0）符合条件，
∴线段AB中点P的轨迹方程是x2+2y2-x=0．…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，属于中档题．
练习册系列答案
巧学巧练系列答案
相关题目
（a>b>0）的离心率e＝
，左、右焦点分别为F1、F2，点P（2,
），点F2在线段PF1的中垂线上
，0）且互相垂直的两条直线，l1交E于A， B两点，l2交E于C，D两点，求l1的斜率k的取值范围；
（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，离心率为
，直线l：x+2y-2=0与x轴，y轴分别交于点A，B．
，A（-a，0），B（0，b），且△ABF的面积为
，设斜率为k的直线过点F，且与椭圆E相交于M、N两点．
≤
•
≤
，求k的取值范围．
（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率为
，A（﹣a，0），
，设斜率为k的直线过点F，且与椭圆E相交于M、N两点．
≤
·
≤
，求k的取值范围．
（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F1，F2，且
．