Question

已知f（x）=ax²-2lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设，存在x₁，x₂∈（0，e]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求导得到f^′（x），令f^′（x）=0，解出a的值，并验证a的值是否满足极值的条件．
（Ⅱ）先求导得到f^′（x），然后对a分类讨论，看f^′（x）是大于0还是小于0，从而得到f（x）的单调区间．
（Ⅲ）把要求的问题：“存在x₁，x₂∈（0，e]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，”转化为“对于x∈（0，e]，|f（x）_min-g（x）_max|＜9”．进而求出a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ） ，x∈（0，e]．
由已知f'（1）=2a-2=0，解得a=1，此时．
在区间（0，1）上，f^′（x）＜0；在区间（1，e）上，f^′（x）＞0．
∴函数f（x）在x=1时取得极小值．
因此a=1时适合题意．
（Ⅱ） ，x∈（0，e]．
1）当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上是减函数．
2）当a＞0时，．
①若，即，
则f（x）在上是减函数，在上是增函数；
②若，即，则f（x）在（0，e]上是减函数．
综上所述，当时，f（x）的减区间是（0，e]，
当时，f（x）的减区间是，增区间是．
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知：当x=时，函数f（x）取得最小值，且．
∵g（x）=-5，∴函数g（x）在区间（0，e]上单调递增．
∴当x=e时，函数g（x）取得最大值，且g（x）_max=g（e）=-4-lna．
∵存在x₁，x₂∈（0，e]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，
∴必有对于x∈（0，e]，|f（x）_min-g（x）_max|＜9．又∵，
联立得，解得．
∴a的取值范围是．
点评：本题综合考查了函数的极值、单调区间及恒成立问题，掌握方法和正确计算及分类讨论是解决问题的关键．