Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面节ABCAA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC的中点．
（I）求证：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）若E为BC₁的中点，求证：OE∥平面A₁AB；
（III）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意可知：平面AA₁C₁C⊥平面ABC，根据平面与平面垂直的性质定理可以得到，只要证明A₁O⊥AC就行了；
（Ⅱ）以O为原点，OA，OB，OA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面A₁AB的法向量，证明OE与法向量垂直即可；
（III）利用向量的夹角公式，即可求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值．
解答：（Ⅰ）证明：因为A₁A=A₁C，且O为AC的中点，
所以A₁O⊥AC．
又由题意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，交线为AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
所以A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）证明：以O为原点，OA，OB，OA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=AC=1，
所以得：O（0，0，0），A（1，0，0），A₁（0，0，），C₁（-2，0，），E（-1，，）
则有：=（-1，，）
设平面A₁AB的法向量为=（x，y，z），则由，可得
故可取
∴
∵OE?平面A₁AB
∴OE∥平面A₁AB；
（III）解：∵C（-1，0，0），∴=（-1，0，-）
∵平面AA₁B的一个法向量为
∴|=||=
∵因为直线A₁C与平面A₁AB所成角θ和向量与所成锐角互余，
∴sinθ=
点评：本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．