Question

15．已知x＞0，y＞0，若不等式$\frac{3}{x}+\frac{1}{y}≥\frac{m}{x+3y}$恒成立，则m的最大值为12．

Answer 1

分析 题目转化为m≤（$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+3y）恒成立，由基本不等式求（$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+3y）的最小值可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，不等式$\frac{3}{x}+\frac{1}{y}≥\frac{m}{x+3y}$恒成立，
∴m≤（$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+3y）恒成立，
又（$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+3y）=6+$\frac{9y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥6+2$\sqrt{\frac{9y}{x}•\frac{x}{y}}$=12
当且仅当$\frac{9y}{x}$=$\frac{x}{y}$即x=3y时取等号，
∴（$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$）（x+3y）的最小值为12，
由恒成立可得m≤12，即m的最大值为12，
故答案为：12．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题，属基础题．