Question

8．已知圆O：x²+y²=1和动点P（m，-2），圆C是以OP为直径的圆，圆O与圆C相交，设交点为A，B．
（1）问直线AB是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（2）记直线OA，OB，AB的斜率分别为k₁，k₂，k，若k₁+1，k，k₂+1依次成等差数列，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）设出直线AB的方程代入x²+y²=1，圆C：（x-$\frac{m}{2}$）²+（y+1）²=$\frac{{m}^{2}+4}{4}$，可得b-1=b²+2b，求出b，即可得出结论；
（2）利用等差数列的性质，求出m，即可求直线AB的方程．

解答 解：（1）设直线AB的方程为y=kx+b，
∵k_PO=-$\frac{2}{m}$，∴k_AB=$\frac{m}{2}$，
∴y=$\frac{m}{2}$x+b，
代入x²+y²=1，圆C：（x-$\frac{m}{2}$）²+（y+1）²=$\frac{{m}^{2}+4}{4}$，
可得$\frac{{m}^{2}+4}{4}$x²+mbx+b-1=0与$\frac{{m}^{2}+4}{4}$x²+mbx+b²+2b=0，
∴b-1=b²+2b，
∴b=-$\frac{1}{2}$，
∴y=$\frac{m}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
∴直线l过定点（0，-$\frac{1}{2}$）；
（2）$\frac{{m}^{2}+4}{4}$x²+mbx+b-1=0为$\frac{{m}^{2}+4}{4}$x²-$\frac{1}{2}$mx-$\frac{3}{4}$=0
∴（4+m²）x²-2mx-3=0，
∴k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{\frac{m}{2}{x}_{1}-\frac{1}{2}}{{x}_{1}}$，k=$\frac{m}{2}$，k₂=$\frac{\frac{m}{2}{x}_{2}-\frac{1}{2}}{{x}_{2}}$，
∵k₁+1，k，k₂+1依次成等差数列，
∴2k=k₁+1+k₂+1，
代入整理可得m-2=m-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴-2=$\frac{m}{3}$，
∴m=-6，
∴y=-3x-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了等差数列的应用，训练了数学转化思想方法，属于中档题．