Question

已知数列{a_n}中．当n≥2时3a_n+1=4a_n-a_n-1．（n∈N^*）
（Ⅰ）证明：{a_n+1-a_n}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅲ）若对任意n∈N^*有均成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）数列{a_n}中．当n≥2时3a_n+1=4a_n-a_n-1．（n∈N^*），由此能够证明{a_n+1-a_n}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故，，…，由累加法能够求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）若对任意n∈N^*，有均成立，则在n∈N^*时恒成立．故需求在n∈N^*上的最小值．由此能求出λ的最小值．
解答：（Ⅰ）证明：∵数列{a_n}中，．
当n≥2时3a_n+1=4a_n-a_n-1．（n∈N^*）
∴当n≥2时3a_n+1-3a_n=a_n-a_n-1，
即．
所以{a_n+1-a_n}是以为首项，以为公比的等比数列．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，
故，
，
…
，
累加得，
所以．…（9分）
（Ⅲ）解：若对任意n∈N^*有均成立，
则在n∈N^*时恒成立．
故需求在n∈N^*上的最小值．
现证n∈N^*时有＞
显然，左端每个因式都是正数，
先证明，对每个n∈N^*，有≥1-（）
用数学归纳法证明上式：
（ⅰ）n=1时，上式显然成立，
（ⅱ）假设n=k时，结论成立，
即≥1-（）
则当n=k+1时，
≥
=1-（）-+（）
≥1-（+），
即当n=k+1时，结论也成立．
故对一切n∈N^*，≥1-（）成立．
所以≥1-（）
=1-
=1-＞．
∵，
∴，
故，，
而在n∈N^*时恒成立且λ∈N^*，
所以λ的最小值为2．…（14分）
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查最小值的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．