Question

已知PA⊥平面ABC,点H、G分别是△ABC、△PBC的垂心,如图2-3-4.求证:HG⊥平面PBC.

图2-3-4

Answer 1

思路分析:欲证HG⊥平面PBC,需证HG与平面PBC内的两条相交直线垂直.利用“垂心和三角形顶点的连线垂直于对边”的性质,可使孤立的点G、H与各边联系起来,并得到垂直关系,从而找到解题突破口.首先连结AH,并延长交BC于点D,连结PD,则根据线面垂直及已知条件得PD⊥BC,AD⊥BC,从而BC⊥平面PAD,且BC⊥HG.再连结并延长BG、BH分别交对边于E、F,则PC⊥BE且BF⊥AC,从而PC⊥BF,推出PC⊥平面BEF,PC⊥HG.

证明:连结AH并延长交BC于D,连结PD.

H为△ABC的垂心AD⊥BC.

BC⊥PDG∈PD且HC⊥BC.

连结并延长BG、BH分别交PC、AC于点E、F,连结EF.

H为△ABC的垂心,?

GH⊥平面PBC.

  绿色通道:解决立体几何中的有关垂直关系的问题,常常要进行多次线线垂直和线面垂直之间的转化,这充分体现了数学化归思想的重要性和优越性.