Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为2

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点（2，0）的直线l的与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，当∠AOB为锐角时，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由离心率为

2

2

及a²=b²+c²可得a，b关系，由菱形面积得

1

2

×2a×2b=2

2

，联立方程组即可求得a，b；
（2）设l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠AOB为锐角，得

OA

•

OB

＞0，即x₁x₂+y₁y₂=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]＞0，联立直线方程与椭圆方程消去y得x的二次方程，则△＞0，由韦达定理可把上式变为k的不等式，联立可得关于k的不等式组，解出即可；

解答：解：（1）由e=

c

a

=

2

2

得a²=2c²=2b²，
依题意

1

2

×2a×2b=2

2

，即ab=

2

，解方程组

a2=2b2 ab= 2

得a=

2

，b=1，
所以椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）设l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，得k2＜

1

2

，且x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，
于是y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=

2k2

1+2k2

．
∵∠AOB为锐角，∴

OA

•

OB

＞0，
∴x1x2+y1y2=

8k2-2

1+2k2

+

2k2

1+2k2

=

10k2-2

1+2k2

＞0，解得k2＞

1

5

，
又k2＜

1

2

，∴

1

5

＜k2＜

1

2

，解得-

2

2

＜k＜-

5

5

或

5

5

＜k＜

2

2

，
所以直线l的斜率k的取值范围是（-

2

2

，-

5

5

）∪（

5

5

，

2

2

）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，判别式、韦达定理、弦长公式是解决该类题目的基础，解决该类问题常运用方程思想．