Question

13．已知在△ABC中，b=2c，角A的平分线长m，m=kc，则k的取值范围是k∈（0，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 在△ABC中，AD是∠A的平分线，AB=2AC，利用角平分线的性质定理可得：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}=\frac{1}{2}$，∠1=∠2．令AC=a，DC=b，AD=c，则AB=2a，BD=2b．在△ABD与△ACD中，分别利用余弦定理可得：BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠1，DC²=AC²+AD²-2AC•ADcos∠2，化简整理即可得出．

解答 解：如图所示

∵在△ABC中，AD是∠A的平分线，b=2c，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}=\frac{1}{2}$，∠1=∠2．
令AC=b=2c，BD=x，AD=m=kc，则AB=c，DC=2x．
在△ABD与△ACD中，分别利用余弦定理可得：
BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠1，
DC²=AC²+AD²-2AC•ADcos∠2，
∴x²=c²+c²k²-2kc²cos∠1，4x²=4c²+k²c²-4kc²•cos∠2，
化为3k²c²-4kc²cos∠1=0，
∴k=$\frac{4}{3}$cos∠1，
∵∠1∈（0，$\frac{π}{2}$），∴cos∠1∈（0，1）．
∴k∈（0，$\frac{4}{3}$）．
故答案为：k∈（0，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查了三角形内角平分线的性质定理、余弦定理；关键是利用余弦定理得到关于k的等式．