Question

椭圆C：(a>b>0)的两个焦点为F₁、F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=，|PF₂|=.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.

Answer 1

解法一：（1）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6,a=3.

在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|==,故椭圆的半焦距c=,

从而b²=a²-c²=4,

所以椭圆C的方程为.

(2)设A、B的坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂).

已知圆的方程为（x+2）²+(y-1)²=5,所以圆心M的坐标为（-2，1），

从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,

代入椭圆C的方程得（4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k-27=0.

因为A、B关于点M对称，

所以,

解得k=.

所以直线l的方程为y=(x+2)+1,

即8x-9y+25=0.

(经检验，所求直线方程符合题意)

解法二：（1）同解法一.

（2）已知圆的方程为（x+2）²+(y-1)²=5,所以圆心M的坐标为（-2，1）.

设A、B的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂).

由题意x₁≠x₂且                                                                           ①

                                                                                                 ②

由①-②得

+=0.                                                      ③

因为A、B关于点M对称，

所以x₁+x₂=-4,y₁+y₂=2.

代入③得,

即直线l的斜率为，

所以直线l的方程为y-1=(x+2),

即8x-9y+25=0.

(经检验，所求直线方程符合题意).