Question

（本小题满分14分）已知函数同时满足如下三个条件：①定义域为；②是偶函数；③时，，其中.
（Ⅰ）求在上的解析式，并求出函数的最大值；
（Ⅱ）当，时，函数，若的图象恒在直线上方，求实数的取值范围（其中为自然对数的底数， ）.

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）的图象恒在直线y=e上方

本试题主要是考查了函数定义域和奇偶性的判定以及奇偶性的运用和解析式的求解，以及图像与图像的位置关系的运用。
（1）因为函数同时满足如下三个条件：①定义域为；②是偶函数；③时，，其中.
故可以得到在上的解析式，并求出函数的最大值；
（2）当，时，函数，若的图象恒在直线上方，即成立即可。
解：（Ⅰ）任取， 
又f(x)是偶函数，故…………2分
由f(x)是定义域为的偶函数可知，f(x)在的最大值即可为f(x)的最大值.
当

          …………5分
综上可知： 
…………6分
另解：
由f(x)是定义域为的偶函数可知，f(x)在的最大值即可为f(x)的最大值.
当
当
此时…
当
①当
此时 
②当


③
此时…………7分
综上可知：
（2）
==…9分
要函数的图象恒在直线y=e上方，
即成立，…………10分
，令=0，解得
①当
此时…………11分
②当
此时,
故时可满足题意；…………12分
③
此时…13分
综上可知：的图象恒在直线y=e上方，…………14分