Question

已知：动点M到定点A（1，0）距离比它到y轴的距离多1
（1）假设M不在y轴的左侧，求点M的轨迹方程；
（2）设AM的中点为N，求点N的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的定义，可得M点的轨迹为以点A为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，求出焦参数p的值，即可得到点M的轨迹方程；
（2）设点N坐标为（x，y），相应M点的坐标为（m，n），利用中点坐标公式算出m=2x-1，n=2y，得M（2x-1，2y），再将其代入抛物线y²=4x，化简即得点N的轨迹方程．

解答：解：（1）∵动点M到定点A（1，0）距离比它到y轴的距离多1
∴动点M到定点A的距离等于M到直线x=-1距离，
又∵M不在y轴的左侧，
∴M点的轨迹为以点A为焦点、直线x=-1为准线的抛物线…（3分）
设抛物线方程为y²=2px，可得

p

2

=1，从而2p=4…（4分）
∴抛物线方程为y²=4x，即为点M的轨迹方程．…（6分）
（2）点N（x，y）为轨迹上任意一点，相应M点的坐标为（m，n）
又∵A坐标为（1，0）
∴由中点坐标公式，得m=2x-1，n=2y．得到M（2x-1，2y），…（9分）
将M的坐标代入抛物线y²=4x，化简得y²=2x-1，即为点N的轨迹方程．…（12分）

点评：本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程、动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．