Question

（13分）已知圆和直线．

⑴  证明：不论取何值，直线和圆总相交；

⑵  当取何值时，圆被直线截得的弦长最短？并求最短的弦的长度．

 

Answer 1

【答案】

24．⑴. 【证明】

方法一：圆的方程可化为：，圆心为，半径.

直线的方程可化为：，直线过定点，斜率为.

定点到圆心的距离，

∴定点在圆内部，∴不论取何值，直线和圆总相交.

方法二：圆的方程可化为：，圆心为，半径.

圆心到直线的距离，

，因，，，

故，∴不论取何值，直线和圆总相交.

⑵. 圆心到直线的距离

被直线截得的弦长＝，

当时，弦长；

当时，弦长，下面考虑先求函数的值域.

由函数知识可以证明：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增（证明略），

故当时，函数在处取得最大值－2；当时，函数在处取得最小值2.

即或，

故或，可得

或，即且，

且，

且.

综上，当时，弦长取得最小值；当时，弦长取得最大值4.

 

【解析】略