Question

设点P在曲线y=

1

2

e^x+1上，点Q在曲线y=ln（2x-2）上，则|PQ|最小值为（　　）

• A、1-ln2
• B、

  2

  （2-ln2）
• C、1+ln2
• D、

  2

  （1+ln2）

Answer 1

分析：根据函数y=

1

2

e^x+1与函数y=ln（2x-2）互为反函数，可知P、Q两点间的最短距离为点P到直线y=x的最短距离d的2倍，利用导数求出d即可．

解答：解：∵函数y=

1

2

e^x+1与函数y=ln（2x-2）互为反函数，
∴函数y=

1

2

e^x+1与函数y=ln（2x-2）的图象关于直线y=x对称，
∴|PQ|的最小值是点P到直线y=x的最短距离的2倍，
设曲线y=

1

2

e^x+1上斜率为1的切线为y=x+b，
∵y′=

1

2

e^x，由

1

2

e^x=1得x=ln2，
即切点为（ln2，2），
∴b=2-ln2，
∴d=

|2-ln2|

2

，
∴P、Q两点间的最短距离为2d=

2

(2-ln2)，
故选B．

点评：本题考查反函数的概念，导数的几何意义，点到直线的距离公式等式知识的灵活应用，属于难题．