Question

17．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为底面ABCD的中心，P是DD₁的中点，设Q是CC₁上的点．
（1）当点Q在什么位置时，平面D₁BQ∥平面PAO？
（2）异面直线B₁C与D₁B所成角．

Answer 1

分析 （1）当Q为CC₁的中点时，QB∥PA，D₁B∥PO，由此能求出平面D₁BQ∥平面PAO．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B₁C与D₁B所成角．

解答 （本小题满分10分）
解：（1）当Q为CC₁的中点时，平面D₁BQ∥平面PAO．
理由如下：
 当Q为CC₁的中点时，
∵Q为CC₁的中点，P为DD₁的中点，∴QB∥PA．
∵P、O为DD₁、DB的中点，∴D₁B∥PO．
又PO∩PA=P，D₁B∩QB=B，
D₁B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
∴平面D₁BQ∥平面PAO．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
B₁（1，1，1），C（0，1，0），B（1，1，0），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=（1，1，-1），
设异面直线B₁C与D₁B所成角为θ．
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{{D}_{1}B}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}C}|•|\overrightarrow{{D}_{1}B}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
$θ=arccos\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴异面直线B₁C与D₁B所成角为arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查满足面面平行的点的位置的确定与求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．