Question

【题目】已知圆

（1）求圆关于直线对称的圆的标准方程；

（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程；

（3）当取何值时，直线与圆相交的弦长最短，并求出最短弦长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】

（1）设，根据圆心与关于直线对称，列出方程组，求得的值，即可求解；

（2）由圆的弦长公式，求得，根据斜率分类讨论，求得直线的斜率，即可求解；

（3）由直线，得直线过定点,根据时，弦长最短，即可求解．

（1）由题意，圆的圆心，半径为，

设，因为圆心与关于直线对称，

所以，解得，则，半径，

所以圆标准方程为：

（2）设点到直线距离为，圆的弦长公式，得，解得，

①当斜率不存在时，直线方程为，满足题意

②当斜率存在时，设直线方程为，则，解得，

所以直线的方程为，

综上，直线方程为或

（3）由直线，可化为，可得直线过定点,

当时，弦长最短，又由，可得，

此时最短弦长为．