Question

【题目】已知抛物线的焦点为，点，点为抛物线上的动点．

（1）若的最小值为，求实数的值；

（2）设线段的中点为，其中为坐标原点，若，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）的值为或.（2）

【解析】

（1）分类讨论，当时，线段与抛物线没有公共点，设点在抛物线准线上的射影为，当三点共线时，能取得最小值，利用抛物线的焦半径公式即可求解；当时，线段与抛物线有公共点，利用两点间的距离公式即可求解.

（2）由题意可得轴且设，则，代入抛物线方程求出，再利用三角形的面积公式即可求解.

由题，，若线段与抛物线没有公共点，即时，

设点在抛物线准线上的射影为，

则三点共线时，

的最小值为，此时

若线段与抛物线有公共点，即时，

则三点共线时，的最小值为：

，此时

综上，实数的值为或.

因为，

所以轴且

设，则，代入抛物线的方程解得

于是，

所以