题目内容
13．某射击游戏规则如下：①射手共射击三次：；②首先射击目标甲；③若击中，则继续射击该目标，若未击中，则射击另一目标；④击中目标甲、乙分别得2分、1分，未击中得0分．已知某射手击中甲、乙目标的概率分别为$\frac{1}{2}，\frac{3}{4}$，且该射手每次射击的结果互不影响．（Ⅰ）求该射手连续两次击中目标且另一次未击中目标的概率；
（Ⅱ）记该射手所得分数为X，求X的分布列和数学期望EX．
分析 （Ⅰ）分别记“该射手击中目标甲、乙”为事件A，B，“连续两次击中目标且另一次未击中目标”为事件C，则P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，由事件的独立性和互斥性，由此能求出该射手连续两次击中目标且另一次未击中目标的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
解答 解：（Ⅰ）分别记“该射手击中目标甲、乙”为事件A，B，
“连续两次击中目标且另一次未击中目标”为事件C，
则P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，
由事件的独立性和互斥性，得：
P（C）=$P（AA\overline{A}+\overline{A}BB）$=$P（A）P（A）P（\overline{A}）$+P（$\overline{A}$）P（B）P（B）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}$
=$\frac{13}{32}$．
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，
P（X=0）=P（$\overline{A}\overline{B}\overline{A}$）=P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（$\overline{A}$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{16}$，
P（X=1）=$P（\overline{A}B\overline{B}）$=$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{32}$，
P（X=2）=P（A$\overline{A}\overline{B}$+$\overline{A}\overline{B}A$+$\overline{A}BB$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{13}{32}$，
P（X=3）=P（$A\overline{A}B$）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{16}$，
P（X=4）=$P（AA\overline{A}）$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=6）=P（AAA）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
∴X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
| P | $\frac{1}{16}$ | $\frac{3}{32}$ | $\frac{13}{32}$ | $\frac{3}{16}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{8}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率的计算公式的合理运用．
A规格 | B规格 | C规格 | |
| 第一种钢板 | 2 | 1 | 1 |
| 第二种钢板 | 1 | 3 | 1 |
（1）设需裁第一种钢板x张，第二种钢板y张，用x，y列出符合题意的数学关系式，并在给出的平面直角坐标系中画出相应的平面区域；
（2）在满足需求的条件下，问各裁这两种钢板多少张，所用钢板面积最小？
| A． | 1 | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 2 |
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．