Question

12．在等比数列{a_n}中，公比q≠1，等差数列{b_n}满足b₁=a₁=3，b₄=a₂，b₁₃=a₃
（I）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（II）记c_n=（-1）ⁿb_n+a_n，求数列{c_n}的前2n项和S_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q（q≠1），等差数列{b_n}的公差为d，根据b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃及等差、等比数列的通项公式列关于q，d的方程组解出即得q，d，再代入通项公式即可；
（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得c_n=（-1）ⁿ（2n+1）+3ⁿ，利用分组求和法分析可得S_2n=（3+3²+3³+…+3²ⁿ）+[（-3）+5+（-7）+9+…-（4n-1）+（4n+1）]，分组计算即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，设等比数列{a_n}的公比为q（q≠1），等差数列{b_n}的公差为d．
由已知得：a₂=3q，a₃=3q2，b₁=3，b₄=3+3d，b₁₃=3+12d，
则有$\left\{\begin{array}{l}{3+3d=3q}\\{3+12d=3{q}^{2}}\end{array}\right.$，解可得q=3或 q=1（舍去），
此时d=2，
所以an=3n，b_n=2n+1；
（Ⅱ）根据题意，记c_n=（-1）ⁿb_n+a_n，则c_n=（-1）ⁿ（2n+1）+3ⁿ，
则S_2n=（3+3²+3³+…+3²ⁿ）+[（-3）+5+（-7）+9+…-（4n-1）+（4n+1）]
=$\frac{3（1-{3}^{2n}）}{1-3}$+[（5-3）+（9-7）+…+（4n+1）-（4n-1）]
=$\frac{{3}^{2n+1}-3}{2}$+2n．

点评 本题考查等差、等比数列通项以及数列的分组求和法，关键是求出数列{a_n}与{b_n}的通项公式．