题目内容
设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…an为n(n＝2，3，4…)阶“期待数列”：
①a1＋a2＋a3＋…＋an＝0；②|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝1．
(1)若等比数列{an}为2k(k∈N*)阶“期待数列”，求公比q；
(2)若一个等差数列{an}既是2k(k∈N*)阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
(3)记n阶“期待数列”{ai}的前k项和为Sk(k＝1，2，3，…n)：
(ⅰ)求证：
；
(ⅱ)若存在m∈{1，2，3，…n}使
，试问数列{Si}能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．
答案：
解析：
解析：
解：(1)若
，则由①
＝0，得
，
由②得
或
．
若
，由①得，
，得
，不可能．
综上所述，．
(2)设等差数列
的公差为
，＞0．
∵
，∴
，
∴
，
∵＞0，由
得
，
，
由题中的①、②得
，
，
两式相减得，
， ∴
，
又
，得
，
∴
．
(3)记
，
，…，
中非负项和为
，负项和为
，
则
，
，得
，
，
(ⅰ)
，即
．
(ⅱ)若存在
使
，由前面的证明过程知：
，
，…，
，
，
，…，
，
且
…
．
记数列
的前
项和为
，
则由(ⅰ)知，
，
∴
＝
，而，
∴
，从而
，
，
又…
，
则
，
∴
，
与
不能同时成立，
所以，对于有穷数列
，若存在使，则数列
和数列不能为
阶“期待数列”．
练习册系列答案
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为
阶“期待数列”：
；②
．
为
(
)阶“期待数列”，求公比
；
的前
项和为
：
；
使
，试问数列
能否为