Question

【题目】已知数列、，其中， ，数列满足,，数列满足．

（1）求数列、的通项公式；

（2）是否存在自然数，使得对于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；

（3）若数列满足，求数列的前项和．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在， ；（3）．

【解析】试题分析：

（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{bn}的通项公式．（2）bn=2n．假设存在自然数m，满足条件，先求出，将问题转化成可求得的取值范围；（3）分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn，然后写成分段函数的形式。

试题解析：

（1）由，即．

又，所以

.

当时，上式成立，

因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，

故.

(2) 由（1）知，则

.

假设存在自然数，使得对于任意有恒成立，即恒成立，由，解得．

所以存在自然数，使得对于任意有恒成立，此时， 的最小值为16.

（3）当为奇数时，

；

当为偶数时，

.

因此．