Question

【题目】已知函数在处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围；

（3）若函数的两个零点为，试判断的正负，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）结论是.

【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义可求得；（2）分离参数得可得，令，利用导数求出函数令的最小值即可；（3），证明见解析。

试题解析：

（1）由题意得，因函数在处的切线方程为，

所以，得.

（2）不等式整理可得，

令，

所以，得，

当时， ，函数在上单调递增，

同理，函数在上单调递减，所以，

综上所述，实数的取值范围是.

（3）结论是.

证明：由题意知函数，所以，

易得函数在单调递增，在上单调递减，所以只需证明即可.

因为是函数的两个零点，所以，相减得，

不妨令，则，则，所以， ，

所以，故只需证，即证，

因为，所以在上单调递增，所以，

综上所述，函数总满足成立.