Question

【题目】已知三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝3，O是AB中点，E是PB中点．

（1）证明：平面PAB⊥平面ABC；

（2）求点B到平面OEC的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）连结PO，利用等腰三角形的性质证得，利用勾股定理计算证明证得，由此证得平面，进而证得平面平面.

（2）利用等体积法，由列方程，解方程求得到平面的距离.

（1）连结PO，在△PAB中，PA＝PB，O是AB中点，

∴PO⊥AB，

又∵AC＝BC＝2，AC⊥BC，∴．

∵PA＝PB＝3，∴，PC2＝PO2+OC2，

∴PO⊥OC．

又AB∩OC＝O，AB平面ABC，OC平面ABC，

∴PO⊥平面ABC，

∵PO平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．

（2）∵OE是△PAB的中位线，∴．

∵O是AB中点，AC＝BC，∴OC⊥AB．

又平面PAB⊥平面ABC，两平面的交线为AB，∴OC⊥平面PAB，

∵OE平面PAB，∴OC⊥OE．

设点B到平面OEC的距离为d，则VB﹣OEC＝VE﹣OBC，

∴，

∴点B到平面OEC的距离：

．