题目内容

在数列{an}中，a1=
1
2
，an+1=
3an
an+3
．
（1）计算a2，a3，a4，猜想数列{an}的通项公式并加以证明；
（2）求证：
a1
3
+
a2
3
+…+
an
3
≥
2n
n+11
对一切n∈N*成立．
分析：（1）数列{an}中，由a1=
1
2
，an+1=
3an
an+3
，分别令n=1，2，3，依次求出a2，a3，a4，猜想数列{an}的通项公式并加以证明．
（2）由an=
3
n+5
，知
a1
3
+
a2
3
+…+
an
3
=
1
6
+
1
7
+…+
1
n+5
，故（
a1
3
+
a2
3
+…+
an
3
）[6+7+…+（n+5）]≥（1+1+…+1）2=n2，由此能够证明
a1
3
+
a2
3
+…+
an
3
≥
2n
n+11
．
解答：解：（1）数列{an}中，∵a1=
1
2
，an+1=
3an
an+3
，
∴a2=
3×
1
2
1
2
+3
=
3
7
，
a3=
3×
3
7
3
7
+3
=
3
8
，
a4=
3×
3
8
3
8
+3
=
3
9
．
由此猜想：an=
3
n+5
．
证明：由an+1=
3an
an+3
，知
1
an+1
=
1
an
+
1
3
，
∴{
1
an
}是等差数列，
∴
1
an
=
1
a1
+(n-1)×
1
3
=
n+5
3
，
∴an=
3
n+5
．
（2）∵an=
3
n+5
，
∴
a1
3
+
a2
3
+…+
an
3
=
1
6
+
1
7
+…+
1
n+5
，
（
a1
3
+
a2
3
+…+
an
3
）[6+7+…+（n+5）]≥（1+1+…+1）2=n2，
∴
a1
3
+
a2
3
+…+
an
3
≥
n2
n(n+11)
2
=
2n
n+11
．
点评：本题考查数列的通项公式的求法和证明，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

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