Question

（本题满分14分）

（Ⅰ）求直线：与两坐标轴所围成的三角形的内切圆的方程；

（Ⅱ）若与（Ⅰ）中的圆相切的直线交轴轴于和两点,且.

①求证：圆与直线相切的条件为；

②求OAB面积的最小值及此时直线的方程．

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）①见解析；② ；l：

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ）直线m：3x+4y=12与两坐标轴交点分别为A（4，0），B（0，3）．

则△AOB是直角三角形

∵圆心到坐标的距离相等

∴可设圆心C（a，a），半径为a，（0＜a＜3）

∴圆心到AB的距离为

解得：a=1

∴圆的方程为 ．

（Ⅱ）①证明：∵直线l交x轴y轴于A（a，0）和B（0，b）两点

∴直线l的方程为 ，

即bx+ay-ab=0

∵直线l与圆C相切，

∴

即ab-2a-2b+2=0

（a-2）（b-2）=2

②由①可知ab=2a+2b-2

∴S==a+b-1≥-1

当且仅当a=b=时取“=“

即S-2+1≥0

解得

∴，

∴直线l的方程为x+y-2

考点：本题考查直线与圆的方程的应用

点评：解决本题的关键是表示出三角形面积后，利用基本不等式和一元二次不等式的性质解决