Question

（2012•九江一模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-1（n∈N₊ ）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=

an+1	(an+1)(an+1+1)

(n∈N+)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，得a₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，故可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）写出通项，利用裂项法求和，即可得到结论．

解答：解：（1）由已知S_n=2a_n-1
当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，得a₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1），所以a_n=2a_n-1，
所以数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以a_n=2^n-1（n∈N₊ ）．
（2）b_n=

an+1

(an+1)(an+1+1)

=2（

1

2n+1+1

-

1

2n+1

），
∴T_n=2[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n+1+1

-

1

2n+1

）]=2（

1

2

-

1

2n+1

）=

2n-1

2n+1

．

点评：本题考查数列递推式，考查裂项法求数列的和，解题的关键是确定数列的通项，所以中档题．