Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，

m

=(cosA，cosC)，

n

=(

3

c-2b，

3

a)，且

m

⊥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）若角B=

π

6

，BC边上的中线AM的长为

7

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用向量垂直的坐标运算及正弦定理可得（2sinB-

3

sinC）cosA=

3

sinAcosC，变形后再逆用两角和的正弦及诱导公式可求得cosA=

3

2

，于是得A=

π

6

；
（2）由（1）知A=B=

π

6

，设AC=x，则MC=

1

2

x，AM=

7

，利用余弦定理可求得x，继而可得△ABC的面积．

解答：解：（1）∵（2b-

3

c）cosA=

3

acosC，
∴（2sinB-

3

sinC）cosA=

3

sinAcosC，
∴2sinBcosA=

3

（sinAcosC+sinCcosA）=

3

sin（A+C）=

3

sinB，
∴cosA=

3

2

，于是A=

π

6

．
（2）由（1）知A=B=

π

6

，
∴AC=BC，C=

2π

3

．
设AC=x，则MC=

1

2

x，AM=

7

，
在△AMC中，由余弦定理得：AC²+MC²-2AC•MCcosC=AM²，
即x²+(

x

2

)2-2x•

x

2

cos120°=(

7

)2，
即

7x2

4

=7，
解得x=2，
∴S_△ABC=

1

2

x²sin

2π

3

=

1

2

×4×

3

2

=

3

．

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查向量垂直的坐标运算及两角和的正弦、诱导公式的应用，属于中档题．