Question

1．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=n+a_n，则$\frac{{a}_{n}}{n}$的最小值为1．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=n+a_n，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{n-1}{2}$+$\frac{1}{n}$，令f（x）=$\frac{x-1}{2}$+$\frac{1}{x}$，（x≥1），利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=n+a_n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（n-1）+（n-2）+…+1+1
=$\frac{n（n-1）}{2}$+1．
则$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{n-1}{2}$+$\frac{1}{n}$，
令f（x）=$\frac{x-1}{2}$+$\frac{1}{x}$，（x≥1），
则f′（x）=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2}{2{x}^{2}}$，
当$1≤x＜\sqrt{2}$时，函数f（x）单调递减；当x$＞\sqrt{2}$时，函数f（x）单调递增．
又f（1）=1，f（2）=1，
∴当n=1，2时，则$\frac{{a}_{n}}{n}$取得最小值为1．
故答案为：1．

点评 本题考查了“累加求和”方法、递推关系的应用、利用导数研究函数的单调性极值、等差数列的前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．