Question

设f（x）的定义域（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f=f（m）+f（n），且当x＞1时，．
（1）求f（2）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解关于x的不等式，其中p＞-1．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用赋值法，对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令 ，即可求出 的值；
（2）先在定义域内任取两个值x₁，x₂，并规定大小，然后判定出f（x₁），与f（x₂）的大小关系，根据单调增函数的定义可知结论；
（3）将转化为，然后根据函数的单调性和定义域建立关系式，解之即可．
解答：解：（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令 ，则 ，
∴f（2）=1（4分）
（2）设0＜x₁＜x₂，则
∵当x＞1时，f（x）＞0
∴（6分）
（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数（10分）
（3）∵f（2）=1得2=f（2）+f（2）=f（4）
又
可化为：
由y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
原不等式可化为：
当p＞0时，解之得：4＜x≤2+2．
当-1＜p＜0时，解之得：2-2≤x≤2+2．
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数单调性的判断、证明及应用，属于中档题．