Question

证明对于任意两个向量a、b,都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

Answer 1

思路分析：由于不等式本身有明显的几何意义,故应选用向量的几何意义进行证明.可根据向量a、b共线与不共线两种情况讨论.

证明：若a、b中有一个为零向量,则不等式显然成立.

若a、b都不是零向量,记=a, =b,则=a+b.

(1)当a、b不共线时,如下图(甲)所示,则有

|||-|||＜||＜||+||,即||a|-|b||＜|a+b|＜|a|+|b|.

　　　　

               (甲)　　　　　　　         　 (乙) 　　　　　　                　(丙)

(2)当a、b共线时,若a、b同向,如上图(乙)所示,||=| |+||,

即|a+b|=|a|+|b|.

若a,b反向,如上图(丙)所示,|| |-|||=||,

即||a|-|b||=|a+b|.

综上,可知||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

深化升华 此不等式一般称为三角不等式,它的几何意义就是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值.