题目内容
已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列（n为正偶数），又f（1）=n2，f（-1）=n；（1）求数列{an}的通项an；
（2）求f（
）的值；（3）比较f（
）的值与3的大小，并说明理由．
【答案】分析：（1）设数列的公差为d，因为f（1）=a1+a2+a3+…+an=n2，即数列的前n项和为n2，则n有a1+
d=n2，又f（-1）=-a1+a2-a3+…-an-1+an=n，即
×d=n，d=2，联立可得答案；
（2）根据题意，f（
）=（
）+3（
）2+5（
）3+…+（2n-1）（
）n，将f（
）看成一个数列的前n项和，由错位相减法求解即可；
（3）由（2）的结论，f（
）=
-（2n+3）（
）n，易得f（
）＜
，进而可得答案．
解答：解：（1）设数列的公差为d，
因为f（1）=a1+a2+a3+…+an=n2，则na1+
d=n2，即2a1+（n-1）d=2n．
又f（-1）=-a1+a2-a3+…-an-1+an=n，即
×d=n，d=2．
解得a1=1．
∴an=1+2（n-1）=2n-1．
（2）f（
）=（
）+3（
）2+5（
）3+…+（2n-1）（
）n，①
两边都乘以
，可得
f（
）=（
）2+3（
）3+5（
）4+…+（2n-1）（
）n+1，②
①-②，得
f（ 
）=
+2（ 
）2+2（ 
）3+…+2（ 
）n-（2n-1）（ 
）n+1，
即
f（ 
）=
+
+（ 
）2+…+（ 
）n-1-（2n-1）（ 
）n+1．
∴f（
）=1+1+
+
+…+
-（2n-1）
=1+
-（2n-1）
=1+2-
-（2n-1）
=3-（2n+3）（
）n；
则f（
）=3-（2n+3）（
）n；
（3）由（2）的结论，f（
）=3-（2n+3）（
）n，
又由（2n+3）（
）n＞0，
易得3-（2n+3）（
）n＜3，
则f（
）＜3．
点评：本题考查数列与函数的综合，涉及等差数列的性质与错位相减法求数列的前n项和；要求学生熟练掌握等差数列的性质与数列求和的方法．
d=n2，又f（-1）=-a1+a2-a3+…-an-1+an=n，即
×d=n，d=2，联立可得答案；（2）根据题意，f（
）=（
）+3（
）2+5（
）3+…+（2n-1）（
）n，将f（
）看成一个数列的前n项和，由错位相减法求解即可；（3）由（2）的结论，f（
）=
-（2n+3）（
）n，易得f（
）＜
，进而可得答案．解答：解：（1）设数列的公差为d，
因为f（1）=a1+a2+a3+…+an=n2，则na1+
d=n2，即2a1+（n-1）d=2n．又f（-1）=-a1+a2-a3+…-an-1+an=n，即
×d=n，d=2．解得a1=1．
∴an=1+2（n-1）=2n-1．
（2）f（
）=（
）+3（
）2+5（
）3+…+（2n-1）（
）n，①两边都乘以
，可得
f（
）=（
）2+3（
）3+5（
）4+…+（2n-1）（
）n+1，②①-②，得
f（ 
）=
+2（ 
）2+2（ 
）3+…+2（ 
）n-（2n-1）（ 
）n+1，即
f（ 
）=
+
+（ 
）2+…+（ 
）n-1-（2n-1）（ 
）n+1．∴f（
）=1+1+
+
+…+
-（2n-1）
=1+
-（2n-1）
=1+2-
-（2n-1）
=3-（2n+3）（
）n；则f（
）=3-（2n+3）（
）n；（3）由（2）的结论，f（
）=3-（2n+3）（
）n，又由（2n+3）（
）n＞0，易得3-（2n+3）（
）n＜3，则f（
）＜3．点评：本题考查数列与函数的综合，涉及等差数列的性质与错位相减法求数列的前n项和；要求学生熟练掌握等差数列的性质与数列求和的方法．
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）与3的大小．