题目内容
已知f（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，n为正偶数，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列，又f（1）=n2，f（-1）=n．试比较f（
）与3的大小．
【答案】分析：由题设条件可知2a1+（n-1）d=2n．再由f（-1）=-a1+a2-a3+a4-a5+-an-1+an=n可解出a1=1．所以f（
）=
+3（
）2+5（
）3+7（
）4+…+（2n-1）（
）n，再用错位相减法求解即可．
解答：解：∵f（1）=a1+a2++an=n2．
依题设，有
=n2，故a1+an=2n，
即2a1+（n-1）d=2n．
又f（-1）=-a1+a2-a3+a4-a5+-an-1+an=n，
∴
•d=n，有d=2．进而有2a1+（n-1）2=2n，解出a1=1．
于是f（1）=1+3+5+7++（2n-1）．
f（x）=x+3x2+5x3+7x4++（2n-1）xn．
∴f（
）=
+3（
）2+5（
）3+7（
）4++（2n-1）（
）n．①
①两边同乘以
，得
f（
）=（
）2+3（
）3+5（
）4++（2n-3）（
）n+（2n-1）（
）n+1．②
①-②，得
f（
）=
+2（
）2+2（
）3++2（
）n-（2n-1）（
）n+1，
即
f（
）=
+
+（
）2++（
）n-1-（2n-1）（
）n+1．
∴f（
）=1+1+
+
++
-（2n-1）
=1+
-（2n-1）
=1+2-
-（2n-1）
＜3．
∴f（
）＜3．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
）=+3（）2+5（）3+7（）4+…+（2n-1）（）n，再用错位相减法求解即可．解答：解：∵f（1）=a1+a2++an=n2．
依题设，有
=n2，故a1+an=2n，即2a1+（n-1）d=2n．
又f（-1）=-a1+a2-a3+a4-a5+-an-1+an=n，
∴
•d=n，有d=2．进而有2a1+（n-1）2=2n，解出a1=1．于是f（1）=1+3+5+7++（2n-1）．
f（x）=x+3x2+5x3+7x4++（2n-1）xn．
∴f（
）=+3（）2+5（）3+7（）4++（2n-1）（）n．①①两边同乘以
，得f（）=（）2+3（）3+5（）4++（2n-3）（）n+（2n-1）（）n+1．②①-②，得
f（）=+2（）2+2（）3++2（）n-（2n-1）（）n+1，即
f（）=++（）2++（）n-1-（2n-1）（）n+1．∴f（
）=1+1++++-（2n-1）=1+-（2n-1）=1+2--（2n-1）＜3．∴f（
）＜3．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
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