Question

如图所示，已知线段|AB|=4，动圆O’与线段AB切于点C，且|AC|―|BC|=，过点A、B分别作⊙O’的切线，两切线相交于点P；且P、O’在AB的同侧．

(1)建立适当的坐标系，当O’位置变化时，求动点P的轨迹E的方程；

(2)过点B作直线交曲线E于M、N，求△AMN面积的最小值．

Answer 1

解：(1)以AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设点P为(，y)，

PA、PB分别切⊙，于E、F，则|PE|=|PF|，|AE|=|AC|，|BC|=|BF|，

又|AC|―|BC|=|PA|一|BP|=2>0，

故点P的轨迹E是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线右支(除去与轴交点)，

由题意知=2，c=2，则b²=2．故P点轨迹E的方程为)

    (2)设直线的方程为

    联立方程组

设M()、N()，则y_l+y₂=, y_ly₂=，

| y_l－y₂|²=( y_l+y₂)²－4 y_ly₂₌ ,

∴S_△AMN==

又，则，而函数在(0，+∞)上单调递增，

故当sin=1，即=时，A_△AMN取得最小值，最小值为．